RAZONES Y PROPORCIONES 

1- Razón
Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son  a y b, la razón entre ellas se escribe como:

Ejemplo:
En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?
La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de  "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 "

El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.

El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón

 

Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.

1.1- Resolución de problemas:
Veamos cómo resolver problemas de razones:
Ejemplo 1:
La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.
Solución:
Si las edades son a y b
Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:

Ahora volvemos a los datos del problema:
Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:

Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X" . Por lo tanto :

Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:

Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :

Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.

Ejemplo 2:
El perímetro de un rectángulo mide 128 cm, y la razón entre las medidas de sus lados es 5: 3. Calcula el área del rectángulo.
Solución:
Siguiendo el procedimiento del problema anterior planteamos el problema en una ecuación. Sabemos que el perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:

Si expresamos las variables dadas en el problema:

Ahora reemplazamos y resolvemos:

Con este resultado reemplazamos :

Ahora no nos debemos olvidar que nos están pidiendo el área del rectángulo. Sabemos que el área del rectángulos se calcula :

A = a • b

Por lo tanto la respuesta sería :
A = 40 • 24  = 960
Respuesta: El área del rectángulo es 960 cm²

Otra forma de resolver razones es siguiendo los siguientes pasos:

Ejemplo 3:

 

Si hay 33 vehículos entre automóviles y camionetas y la razón entre ellos es 4:7 ¿cuántos automóviles hay?

 

En este caso se está comparando la cantidad de automóviles con el de camionetas. Para conocer la cantidad de automóviles que hay podemos seguir los siguientes pasos:

1° se considera el total de vehículos: 33

2° Se divide 33 por la suma entre el numerador y el denominador de nuestra razón (4+7= 11). Con esto se obtienen 11 partes con 3 unidades cada una (ya que 33:11 = 3).

3° Se consideran 4 partes para los automóviles y 7 para las camionetas.

 

Respuesta: Hay 12 automóviles

Ahora resuelve los siguientes problemas, siguiendo los pasos anteriores: (haz clic tres veces para comprobar tu respuesta)

a) Si la razón entre dos números es 2:3 y ambos suman 10 ¿Cuáles son los números?

Respuesta: Los números son 4 y 6 

 

b) Martín tiene cinco fichas rojas por cada dos azules. Si tiene 21 fichas en total, entre rojas y azules, ¿Cuántas fichas tiene de cada color?  Respuesta: 6 azules y 15 rojas

 

c) A un taller de guitarra asisten 30 estudiantes. Si por cada 8 niñas hay 7 niños, ¿cuántos niños y niñas conforman el taller? Respuesta: En el taller de guitarra hay 14 niños y 16 niñas.

2- Proporciones
Una proporción es la igualdad de dos razones.

2.1- Propiedad fundamental 
En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental de las proporciones). Es decir:

Ejemplo:

Si tenemos la proporción: 

 

Y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda:
 

 

3  • 20  =  4 • 15, es decir, 60 = 60
 

 

Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como proporción lo son verdaderamente.

 

 

 

 

- Propiedades de las proporciones

- Proporciones directas e inversas

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                               MEDIA MEDIANA Y MODA

1- Media aritmética

La media aritmética es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos. Se calculan dependiendo de cómo vengan ordenados los datos.

Ejemplo:

¿Cuál es la media de las edades de Andrea y sus primos?

La media aritmética de un grupo de datos se calcula así:

Se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos.

Ejemplo:

Se ha anotado el número de hermanos que tiene un grupo de amigos. Los datos obtenidos son los siguientes:

Hermanos:  1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4

Si hacemos el recuento de los datos y seguimos los pasos anteriormente descritos, tenemos:

2- Moda

La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota por Mo. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.

- Ejemplo1:

¿Cuál es el dato que más se repite en el ejemplo anterior?

El dato que más se repite es el 1,  es el que tiene mayor frecuencia absoluta (4 veces).

La moda del número de hermanos es 1

- Ejemplo 2:

2, 3, 4, 5 , 6 , 9

En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.

- Ejemplo 3:

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9    M_o= 1, 5, 9

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

- Ejemplo 4:

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8      M_o = 4

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

3- La mediana 

La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto de datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente. 

La mediana se representa por  Me.

Calculo de la mediana:

1° Ordenamos los datos de menor a mayor.

- La mediana de un conjunto con un número impar de datos es, una vez ordenados los datos, el dato que ocupa el lugar central.

Ejemplo:

Calcular la mediana del conjunto de datos:

- También podemos usar la siguiente fórmula para determinar la posición del dato central:

(n + 1) /2  = mediana datos impares.

- La mediana de un conjunto con un número par de datos es, una vez ordenados, la media de los dos datos centrales.

Ejemplo:

Calcular la mediana del conjunto de datos:

4- Rango

El rango da la idea de proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor.

Este dato permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.

Ejemplo:

Se preguntó a 9 familias cuántas bicicletas tenían en total, dieron las respuestas ordenadas en la siguiente tabla:

- ¿Cómo hallarías el rango?

Se resta el dato mayor al dato menor:  3 - 0 = 3;  Por lo tanto el rango sería 3 en este caso.

Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango es muy amplio, es conveniente agruparlos y ordenarlos en intervalos o clases.

La amplitud o tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener.

4- Ejercicios:

1- Se le pregunta a un grupo de personas acerca de la cantidad de libros que leyó durante el año 2015, y las respuestas son: 4; 3; 2; 7; 10; 8; 2; 9; 3; 6; 8; 1; 1; 9; 2. La moda de la muestra es:

a) 2        b) 3         c) 4        d) 5         e) 9

2- Halla la mediana de las siguientes series estadísticas.

a) 1, 7, 3, 2, 4, 6, 2, 5, 6

b) 4, 2, 1, 3, 8, 5, 3, 1, 6, 7

3- Se tienen dos distribuciones cuyos datos son los siguientes:

Distribución A: 9, 5, 3, 2, 1, 2, 6, 4, 9, 8, 1, 3, 5, 4, 2, 6, 3, 2, 5, 6, 7

Distribución B: 1, 1, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 5, 4, 3, 1, 2, 1, 5, 7, 8, 9, 9, 2, 1

a) Halla el rango de ambas distribuciones.

4- Se tiene el siguiente conjunto de datos:

10, 13, 4, 7, 8, 11, 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18

a) Obtén la mediana

Respuestas:

1- a

2- a) 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7        M = 4

b) 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8;   La mediana es la media aritmética de los dos valores centrales, M = 3,5.

3- Rango de A: 9 - 1 = 8

     Rango de B: 9 - 1  = 8

4- a) Ordenamos los datos de menor a mayor:

3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20

Como hay 26 valores, la mediana es la media de los dos valores centrales: M= 10 + 10 / 2 = 10

                                 FORMULA DE EULER

        POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN

   
Un poliedro regular es un poliedro en el que se cumple que todas sus caras y todas sus figuras de vértice son polígonos regulares.¹ Un poliedro regular es identificado por su símbolo de Schläfli de la forma {n, m}, donde «n» es el número de lados en una cara, y «m» el número de caras que se encuentran en un vértice.²

Se han encontrado nueve poliedros regulares, que se dividen en dos grupos: cinco de ellos son poliedros convexos, que corresponden a la familia de sólidos de Platón y los cuatro restantes son poliedros no convexos, que corresponden a la familia de los sólidos de Kepler-Poinsot.¹

Los cinco poliedros regulares convexos fueron observados por Platón, quien maravillado por sus propiedades, asoció cada uno de ellos a un «elemento» primigenio de su filosofía: aire, agua, tierra y fuego. Curiosamente, asoció el dodecaedro al «quinto elemento» o ente espiritual de su teoría de la materia. En esta estructura de pensamiento muchos ven la génesis de la teoría molecular, pues muchos elementos cristalinos tienen una estructura atómica que obedece a la forma de tales poliedros. Los poliedros regulares convexos son los únicos poliedros puramente regulares, ya que todos sus ángulos son iguales, lo que no ocurre en los poliedros regulares no convexos; incluso la expresión «poliedro regular», para algunos autores, se refiere únicamente a la familia de sólidos de Platón.¹

Los cuatro poliedros regulares no convexos fueron desconocidos por los matemáticos antiguos y descritos por varios matemáticos;³ el pequeño dodecaedro estrellado apareció en 1430 en un mosaico de Paolo Uccello en el piso de la Basílica de San Marcos, en Venecia, Italia. El gran dodecaedro estrellado fue publicado por Wenzel Jamnitzer en 1568. Kepler redescubrió estos dos poliedros y los describió en su obra «Harmonices mundi» en 1619. Los otros dos sólidos: el gran dodecaedro y el gran icosaedro fueron posteriormente redescubiertos por Louis Poinsot en 1809.³

Usos

Las combinaciones de poliedros regulares pierden regularidad pero a la vez mantienen varias de las propiedades de los propios poliedros regulares. La mayoría de los poliedros arquimedianos tienen los iguales valores angulares, lo que se puede aprovechar para generar empaquetamientos y agregaciones. El sistema poliédrico es tan estable que permite elevar estructuras altas y resistentes con materiales tan ligeros como el bambú.^{[cita requerida]}

La combinación de poliedros regulares se utiliza a menudo en diseño industrial y también en arquitectura para células constructivas, habitaciones, mallas espaciales planas, cúpulas geodésicas, etc., e incluso en épocas anteriores para cúpulas de piedra (bóvedas de crucería renacentistas). Las combinaciones poliédricas también aparecen en la naturaleza, tanto en la estructura de diversos minerales como en elementos estructurales de seres vivos.^{[cita requerida]}

El tetraedro regular es el punto de partida para escolleras que necesitan una resistencia especial. El tetrápodo, cuatro conos de revolución situados desde los vértices hasta el centro de un tetraedro, se utiliza en las escolleras del norte de Francia desde los años 50 y en las costas de Sudáfrica se usa el Dolos, asimismo conos de revolución dispuestos basándose en la figura del tetraedro.^{[cita requerida]}

La combinación de tetraedros también se ha utilizado en proyectos de arquitectura habitacional que tiene como objetivo la rápida construcción y puesta a punto de viviendas prefabricadas. La Europa Comunista construyó en masa estas células habitacionales, aunque los resultados óptimos se han obtenido en lugares económicamente boyantes como Canadá. Las aplicaciones más primarias formalmente partían del cubo y también se han utilizado en formas tetraédicas u octaédricas.^{[cita requerida]}

Las estructuras de base poliédrica, como la cúpula geodésica, sirven en arquitectura para construir estructuras muy livianas y cubrir grandes espacios. Su desarrollo se debe a las investigaciones de Buckminster Fuller en los años 1950 y tienen su origen en las estructuras de los Radiolarios Protozoos que habitan en las profundidades marinas. Las estructuras reticulares, como la cúpula geodésica, las mallas espaciales planas o las estructuras alabeadas, son estructuras livianas que permiten adaptar su forma a las necesidades de cada proyecto. Se componen de los nudos y las barras, pudiendo ser desmontables y por tanto recuperables. Tienen numerosas aplicaciones en arquitectura, tanto efímera como fija.

                                    MÙLTIPLOS Y SUBMÙLTIPLOS DEL METRO CÙBICO

1 a . El metro cúbico.La unidad principal de volumen es el metro cúbico.
Metro cúbico es el volumen de un cubo que tiene un metro de arista.

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1 b . Múltiplos y submúltiplos del metro cúbico.
Hay que tener en cuenta que las unidades de volumen son cubos, tienen tres dimensiones. El paso de una unidad a la siguiente es dividiendo o multiplicando a lo largo, a lo ancho y a lo alto, dividiendo o multiplicando triplemente por 10 es decir, dividiendo o multiplicando por 1000.   unidad es el volumen de un equivale a símbolo múltiplos kilómetro cúbico cubo de un kilómetro de arista 1000000000 m3 km3 hectómetro cúbico cubo de un hectómetro de arista 1000000 m3 hm3 decámetro cúbico cubo de un decámetro de arista 1000 m3 dam3 unidad principal metro cúbico cubo de un metro de arista   m3 submúltiplos decímetro cúbico cubo de un decímetro de arista 0.001 m3 dm3 centímetro cúbico cubo de un centímetro de arista 0.000001 m3 cm3 milímetro cúbico cubo de un milímetro de arista 0.000000001 m3 mm3
	Aquí tienes representados el decímetro cúbico y el centímetro cúbico. Las figuras puedes girarlas moviendo el punto rojo. La regla puedes moverla desde sus extremos, primero uno y después el otro. Para medirlos debes poner una cara de frente,

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO 

1 a . El metro cuadrado.

La unidad principal de superficie es el metro cuadrado. Metro cuadrado es la superficie de un cuadrado que mide un metro de lado.

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1 b . Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado.
Hay que tener en cuenta que las unidades de superficie son cuadrados. El paso de una unidad a la siguiente es dividiendo o multiplicando a lo largo y a lo ancho, por tanto dividiendo o multiplicando doblemente por 10 es decir, dividiendo o multiplicando por 100.   unidad definición equivale a símbolo múltiplos kilómetro cuadrado Cuadrado de un kilómetro de lado 1000000 m2 km2 hectómetro cuadrado Cuadrado de un hectómetro de lado 10000 m2 hm2 decámetro cuadrado Cuadrado de un decámetro de lado 100 m2 dam2 unidad principal metro cuadrado Cuadrado de un metro de lado   m2 submúltiplos decímetro cuadrado Cuadrado de un decímetro de lado 0.01 m2 dm2 centímetro cuadrado Cuadrado de un centímetro de lado 0.0001 m2 cm2 milímetro cuadrado Cuadrado de un milímetro de lado 0.000001 m2 mm2
	Aquí tienes representados el decímetro cuadrado, el centímetro cuadrado y el milímetro cuadrado. Puedes desplazar el centímetro cuadrado y el milímetro cuadrado. -¿Cuántos centímetros cuadrados caben en un decímetro cuadrado? -¿Cuántos milímetros cuadrados caben en un centímetro cuadrado? -¿Cuántos milímetros cuadrados caben en un decímetro cuadrado?

               ÁREA DEL POLÍGONO REGULAR