PORCENTAJE EN APLICACIONES COTIDIANAS :INCREMENTO
domingo, 23 de julio de 2017
CONVERSIÓN DE DECIMALES A PORCENTAJES Y VICEVERSA
Los números decimales y los porcentajes presentan equivalencias.
Para expresar porcentajes en decimal, se sigue el siguiente procedimiento:
El porcentaje que se desea expresar en decimales se divide entre 100 y el resultado se lee de acuerdo con la ubicación del punto.
22% = 22 = 0.22
100
100
En este caso, 22% equivale a 22 centésimos.
También pueden obtenerse decimales de porcentajes que presenten números decimales, por ejemplo: 7.3%.
Igualmente, se divide 7.3 entre 100 y el resultado se lee: 0.073 setenta y tres milésimos.
En la siguiente tabla, se puede observar más fácilmente las distintas equivalencias de un mismo número, sea como notación decimal, fraccionaria o como porcentaje.
A continuación se ofrecen ejemplos de porcentajes aplicados a un problema cotidiano.
Se quieren repartir 6 l de agua de naranja en vasos que tienen una capacidad de ¼ de litro. ¿Cuántos vasos se llenarán?
Para resolver el problema se dan dos procedimientos:
Multiplicar mediante productos cruzados:
O bien planteando las fracciones con el mismo denominador:
El resultado es 24 en ambos casos.
De los 45 alumnos inscritos en un grupo, 40% son mujeres. ¿Cuántos hombres hay?
Para resolver este problema también hay dos formas de hacerlo:
Al obtener el resultado de cuántas mujeres hay, se resta esa cantidad al total de alumnos.
Otra forma más simplificada es restar el porcentaje por el total: 40% - 100% = 60%.
Entonces se multiplica ese porcentaje por la cantidad que se conoce:
.60 x 45 = 27.00
Como observarás el resultado es el mismo.
Ejemplo:
Calcular descuentos de artículos deportivos en 15%.
Antes del descuento
|
Con el descuento
|
Bicicleta: $450.00
|
382.50
|
Patines: $150.00
|
Para calcular cuánto es de descuento, se multiplica la cantidad por el descuento:
450 x .15 = 67.50
Este resultado se resta a la cantidad inicial: 450 – 67.50 = 382.50
De esta forma se obtiene el resultado.
De la misma manera se procede con $150: 150 x .15 = 22.50 Después restamos esta cifra a la cantidad inicial: 150.00 – 22.50 = 127.50
Convertir porcentajes en fracciones
Para convertir un porcentaje en una fracción sigue estos pasos:
| Paso 1: escribe el porcentaje dividido entre 100. |
| Paso 2: Si el porcentaje no es un número entero, multiplica arriba y abajo por 10 una vez por cada cifra después del punto decimal. Por ejemplo, si hay un número después del decimal multiplica por 10, si hay dos multiplica por 100, etc. |
| Paso 3: Simplifica (o reduce) la fracción |
Ejemplo 1: Expresa 75% en forma de fracción
Paso 1: Escribe:| 75 |
| 100 |
Paso 2: el porcentaje es un número entero, así que no hacemos nada en este paso.
Paso 3: simplifica la fracción:
| ÷ 25 | ||
 | ||
| 75 | = | 3 |
| 100 | 4 | |
 | ||
| ÷ 25 | ||
Respuesta = 3/4
Nota: 75/100 es una fracción decimal y 3/4 es una fracción común
Ejemplo 2: expresa 62.5% en forma de fracción
Paso 1: escribe:
| 62.5 |
| 100 |
Paso 2: multiplica arriba y abajo por 10 (porque hay 1 cifra decimal)
| × 10 | ||
| | ||
| 62.5 | = | 625 |
| 100 | 1,000 | |
| | ||
| × 10 | ||
(¿Ves cómo arriba queda un simple número entero?)
Paso 3: simplifica la fracción (a mí me ha llevado dos pasos, ¡igual tú lo haces en uno!):
| ÷ 25 | ÷ 5 | |||
| | ||||
| 625 | = | 25 | = | 5 |
| 1,000 | 40 | 8 | ||
| | ||||
| ÷ 25 | ÷ 5 | |||
Respuesta = 5/8
Ejemplo 3: expresa 150% en forma de fracción
Paso 1: escribe:
| 150 |
| 100 |
Paso 2: el porcentaje es un número entero, así que el paso 2 no hace falta.
Paso 3: simplifica la fracción (lo hice en un paso):
| ÷ 50 | ||
| | ||
| 150 | = | 3 |
| 100 | 2 | |
| | ||
| ÷ 50 | ||
Respuesta = 3/2
(y es igual a 1½, lee fracciones mixtas)
PROBABILIDADES
En ocasiones realizamos acciones, por ejemplo lanzar una moneda al aire, en las que conocemos de antemano los posibles resultados que se pueden dar (cara o cruz), pero no sabemos exactamente cual de ellos se va a dar.
Lo mismo ocurre cuando lanzamos un dado: sabemos que puede salir 1, 2, 3, 4, 5, o 6, pero no sabemos cual de ellos saldrá.
Los resultados de estas acciones dependen del azar:
Sabemos cuales pueden ser pero es imposible determinar de antemano cual será.
La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se dé.
Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando lanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.
1.- Sucesos
Llamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar.
Distinguimos 3 tipos de sucesos:
Suceso posible: es un resultado que se puede dar.
Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado.
Suceso imposible: es un resultado que no se puede dar.
Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el número 7).
Suceso seguro: es un resultado que siempre se va a dar.
Por ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).
2.- Probabilidades de los sucesos
Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir:
Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás:
Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las mismas probabilidades que el suceso "cruz".
Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse:
Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso "sacar una bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas probabilidades de ocurrir.
Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse:
Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar la bolsa negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.
3.- Cálculo de probabilidades
Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente fórmula:
Probabilidad = Casos favorables / Casos posibles
El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje.
Veamos algunos ejemplos:
a) Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:
Casos favorables: 1 (que salga "cara")
Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz")
Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %
b) Calcular la probabilidad de que salga "3" al lanzar un dado:
Casos favorables: 1 (que salga "3")
Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")
Probabilidad = (1 / 6 ) * 100 = 16,6 %
c) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 4 " al lanzar un dado:
Casos favorables: 4 (sería válido cualquiera de los siguientes resultados "1, 2, 3, o 4")
Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")
Probabilidad = (4 / 6 ) * 100 = 66,6 %
d) Calcular la probabilidad de que salga el número 76 al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:
Casos favorables: 1 (sacar el número 76)
Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)
Probabilidad = (1 / 100 ) * 100 = 1 %
e) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 98" al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:
Casos favorables: 98 (valdría cualquier número entre 1 y 98)
Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)
Probabilidad = (98 / 100 ) * 100 = 98 %
viernes, 23 de junio de 2017
Círculo y circunferencia: área, perímetro, longitud
1- Círculos
1.1- PerímetroEl perímetro de un circulo es la circunferencia y su valor es igual diámetro multiplicado por pi. Como el diámetro es igual a dos radios también se puede decir que la longitud de la circunferencia = p x 2r
1.2- Área
El área del círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por pi = p x r2.
2- Longitud de la circunferencia
Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el perímetro de la circunferencia de la rueda.
Su longitud es aproximadamente 3,14 veces la medida de su diámetro, ( l = 3,14 •d). como el diámetro es igual a 2 r, entonces la longitud de la circunferencia (l) es igual al producto de 2 por p por su radio(r). Es decir,
a) Calcula la longitud de una circunferencia que tiene 20 cm de radio. Considera p= 3,14
l = 2 •p •20 → 125,66
Solución: la longitud de la circunferencia es 125,6
b) Calcula la longitud de dos circunferencia que tienen 30 cm de diámetro, la primera, y 15 cm de radio la segunda.
Solución: El radio de la primera es la mitad del diámetro, es decir, 15 cm. Por tanto ambas tienen el mismo radio y su longitud es:
l = 2•p •15 → 94,25 cm.
ÁREA DEL CIRCULO
El área de un círculo es igual al producto de π por el radio (r) al cuadrado.
También se puede calcular el área conociendo el diámetro del círculo (D), ya que éste es el doble del radio.
Como un círculo es un polígono regular de infinitos lados, podemos aplicar la fórmula general del área del polígono regular:
Ejemplo 1
Sea un círculo de radio conocido, siendo éste r=2 cm.
Aplicamos la fórmula anterior:
Y se obtiene que el área de un círculo de radio 2 cm es de 12,57 cm2.
Ejemplo 2
Ahora supongamos que tenemos un círculo de diámetro conocido D=5 cm.
¿Cuál es su área?
En este caso, área de un círculo de diámetro 5 cm es de 19,63 cm2.
¿Sabias que el famoso número pi (π), (la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro), ya tenia una aproximación de cinco decimales en la Babilonia del siglo XX antes de J. C.
Los matemáticos griegos intentaban resolver la cuadratura del circulo (construir un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado).
En la misma época, Arquímedes, a base de dos polígonos regulares de 96 lados, uno inscrito y otro circunscrito, llega a un valor de π = 22/7, aproximación muy importante para su época.
Después, muchos matemáticos han buscado el valor de π, hasta que Lambert, en 1768, demuestra que π es un número irracional y en 1882, Lindemann demuestra la imposibilidad de la cuadratura cel círculo.
Con la utilización de potentes ordenadores se ha llegado hasta 206 millones de decimales.
La función PI de Excel (hasta la versión actual Excel 2016) devuelve un valor de π con una aproximación de 15 decimales.
Una aproximación razonable para resolver ejercicios es π = 3,1416.
lunes, 5 de junio de 2017
PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSSA |
Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón .
Razón y proporción numérica
Razón entre dos números
Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.
Entonces:
Razón entre dos números a y b es el cociente entre
|  |
Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5 , ya que
|  |
Y la razón entre los números 0,15 y 0,3 es
|  |
Proporción numérica
Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica.
Entonces:
| Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d . | |
Es decir
|  |
| Se lee “ a es a b como c es a d” | |
Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.
Es decir
|  |
| En la proporción | | hay cuatro términos; a y d se llaman extremos , c y b se llaman medios. |
La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.
|
Así, en la proporción anterior
| |
se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40
 |
Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:
Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa.
Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales .
Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales .
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes sondirectamente proporcionales .
|
Ejemplo
Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?
Número de sacos
|
1
|
2
|
3
|
...
|
26
|
...
|
Peso en kg
|
20
|
40
|
60
|
...
|
520
|
...
|
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa que
|  |
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales .
La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.
Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver un gran cantidad de problemas matemáticos.
PSU: Matemática;
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo 1
En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales .
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:
Litros de agua
|
50
|
x
|
Gramos de sal
|
1.300
|
5.200
|
Se verifica la proporción:
|  |
Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:
50 por 5.200 = 1.300 por x
Es decir
|  |
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa .
|
Ver: PSU: Matemática;
Ejemplo 2
Un automóvil gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?
Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad , la tercera parte ... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes soninversamente proporcionales.
|
Ejemplo
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales) .
Formamos la tabla:
Hombres
|
3
|
6
|
9
|
...
|
18
|
Días
|
24
|
12
|
8
|
...
|
?
|
Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72
Por tanto 18 por x = 72
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual.
Importante:
Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el resultado se mantendrá constante.
|
Ver. PSU: Matematica, Pregunta 10
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA)
Ejemplo 1
Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales .
X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas
Nº de vacas
|
220
|
450
|
Nº de días
|
45
|
x
|
Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde
|  |
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Luego 450 vacas podrán comer 22 días
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa .
|
Ejemplo 2
Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?
Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x
Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.
PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES
Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad
Ejemplo 1: Proporcionalidad directa
Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de campamento?
§ Doble número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de chicos y dinero gastado son directamente proporcionales .
§ El mismo número de chicos , si acampan el doble número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de días de acampada y dinero gastado son directamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la cantidad desconocida, gasto.
| SABEMOS QUE |
4 chicos — en 10 días gastan 25.000
| pesos |
| REDUCCIÓN A LA UNIDAD |
1 chico — en 10 días gasta 25.000/4 = 6.250
| pesos |
1 chico — en 1 día gasta 6.250/10= 625
| pesos | |
6 chicos — en 1 día gastan 625 x 6 = 3.750
| pesos | |
| BÚSQUEDA DEL RESULTADO |
6 chicos — en 15 días gastan 3.750 x 15 = 56.250
| pesos |
Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa
15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?
§ Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.
§ Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.
SABEMOS QUE
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REDUCCIÓN A LA UNIDAD
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BÚSQUEDA DEL RESULTADO
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