DIVISIÓN DE FRACCIONES

Método 1. Multiplicar el cruz

Este método consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y el resultado colocarlo en el numerador de la fracción final. Por otro lado, tenemos que multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el resultado lo escribimos en el denominador de la fracción final.

Se llama método de la cruz por el siguiente esquema:

En amarillo: Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda. El resultado se escribe en el numerador.

En verde: Se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda. El resultado de escribe en el denominador.

Método 2: Invertir y multiplicar

Este método consiste en invertir la SEGUNDA FRACCIÓN, es decir, cambiar el denominador por el numerador y cambiar el numerador por el denominador. Después, se multiplican las dos fracciones.

Recuerda que para multiplicar fracciones se hace en línea: Numerador por numerador y denominador por denominador.

Siguiendo con el ejemplo anterior, tenemos que invertir la segunda fracción, por lo tanto  cambiamos el 7 por el 5 y el 5 por el 7. Ahora cambiamos la división por una multiplicación.

Para multiplicar las dos fracciones tenemos que multiplicar el línea: numerador por numerador y denominador por denominador.

Como ves hemos obtenido el mismo resultado por lo dos métodos. ¿Cuál vas a utilizar tú?

Ahora te propongo que intentes resolver los siguientes ejercicios de división de fracciones:

División de fracciones no simples

División de fracciones simplificando en cruz I

División de fracciones simplificando en cruz II

CONSTRUCCIÓN DE UN TRAPECIO ISÒSCELES

                Construcción de un trapecio                         isósceles conocidas las                    bases y la altura.

EstándarAquí tienes el procedimiento para construir un trapecio isósceles a partir de su base mayor (AB) y menor (DC) y de la altura (h):

1.- Se lleva la base AB sobre una recta “r” y se traza su mediatriz. Desde E se lleva la altura “h” y obtenemos el punto F, por el que trazamos una paralela “s” a la recta “r”

2.- Con centro en F y rdio la mitad de la base menor, DC/2, se describe una circunferencia que corta dicha paralela en C y D.

3.- Se unen A, B, C y D, y queda definido el trapecio isósceles.

PARALELOGRAMO

PARALELOGRAMO

Con origen en el vocablo latino parallelogrammus, el concepto de paralelogramo sirve para identificar a un cuadrilátero donde los lados opuestos resultan paralelos entre sí. Esta figura geométrica constituye, por lo tanto, un polígono que se compone de 4 lados donde hay dos casos de lados paralelos.

Resulta interesante tener en cuenta que existen distintos tipos de paralelogramos. Los paralelogramos del grupo de los rectángulos, por ejemplo, son las figuras donde se pueden advertir ángulos internos de 90º. Dentro de este conjunto están incluidos el cuadrado (donde todos los lados poseen la misma longitud) y el rectángulo (donde los lados que se nen de longitud idéntica y 2 pares de ángulos que también son iguales entre sí).

Para calcular el perímetro de los paralelogramos se necesita sumar la longitud de todos sus lados. Esto puede realizarse a través de la siguiente formula: Lado A x 2 + Lado B x 2. Por ejemplo: el perímetro de un paralelogramo rectángulo que tenga dos lados opuestos de 5 centímetros y otros dos lados opuestos de 10 centímetros, se obtendrá ubicando dichos valores en la ecuación antes planteada, lo que nos dará 5 x 2 + 10 x 2 = 30 centímetros.

Otra fórmula para establecer el perímetro de un paralelogramo es 2 x (Lado A + Lado B). En nuestro ejemplo: 2 x (5 + 10) = 30. Todas estas fórmulas simplifican, en definitiva, el proceso de sumar los lados que posee cada paralelogramo. Si realizamos la operación Lado A + Lado A + Lado B + Lado B, el resultado sería el mismo (5 + 5 +10 + 10 = 30).

La llamada ley del paralelogramo, por otro lado, define que si se suman las longitudes elevadas al cuadrado de cada uno de los cuatro lados de un paralelogramo cualquiera, el resultado que obtendremos será equivalente a sumar los cuadrados de sus dos diagonales.

Con respecto a sus propiedades, resulta necesario contemplarlas en grupos, dado que, como se mencionó anteriormente, muchas formas de características diferentes son consideradas paralelogramos. Algunas de las comunes a todos son:

* todos poseen cuatro lados y cuatro vértices, ya que pertenecen al grupo de los cuadriláteros;
* sus lados opuestos nunca se cruzan, dado que siempre son paralelos;
* la longitud de los lados opuestos es siempre la misma;
* sus ángulos opuestos miden lo mismo;
* la suma de dos de sus vértices, siempre que sean contiguos, da 180°, o sea que son suplementarios;
* los ángulos interiores deben sumar 360°;
* su área debe ser siempre el doble de la de un triángulo construido a partir de sus diagonales;
* todo paralelogramo es convexo;
* sus diagonales deben bisecarse entre sí;
* el punto en el cual se bisecan sus diagonales es el que se considera el centro del paralelogramo;
* su centro es a la vez su baricentro;
* si se traza una recta que cruce su centro el área del paralelogramo se divide en dos partes idénticas.

Por otro lado, los distintos tipos de paralelogramos pueden presentar propiedades particulares, que no se apliquen al resto. Por ejemplo:

* un paralelogramo cuadrado puede dar una figura idéntica si se lo rota en tramos de 90°, lo cual también se puede expresar diciendo que posee simetría de rotación de orden 4;
* los de tipo romboide, rombo y rectángulo, en cambio, deben ser rotados de a 180° para obtener el mismo resultado;
* un rombo posee 2 ejes de simetría, que lo cortan uniendo sus vértices opuestos;
* un rectángulo, en cambio, tiene 2 ejes de simetría de reflexión que son perpendiculares a sus lados;
* el cuadrado, finalmente, posee 4 ejes de simetría de reflexión, que unen cada par de vértices opuestos y que lo cortan por el centro vertical y horizontalmente.

DIVISIÓN DE FRACCIONES

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Método 1. Multiplicar el cruz

Este método consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y el resultado colocarlo en el numerador de la fracción final. Por otro lado, tenemos que multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el resultado lo escribimos en el denominador de la fracción final.

Se llama método de la cruz por el siguiente esquema:

En amarillo: Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda. El resultado se escribe en el numerador.

En verde: Se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda. El resultado de escribe en el denominador.

Método 2: Invertir y multiplicar

Este método consiste en invertir la SEGUNDA FRACCIÓN, es decir, cambiar el denominador por el numerador y cambiar el numerador por el denominador. Después, se multiplican las dos fracciones.

Recuerda que para multiplicar fracciones se hace en línea: Numerador por numerador y denominador por denominador.

Siguiendo con el ejemplo anterior, tenemos que invertir la segunda fracción, por lo tanto  cambiamos el 7 por el 5 y el 5 por el 7. Ahora cambiamos la división por una multiplicación.

Para multiplicar las dos fracciones tenemos que multiplicar el línea: numerador por numerador y denominador por denominador.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

La multiplicación de números fraccionarios, o cómo multiplicar fracciones, debemos multiplicar los numeradores y denominadores por separado y respectivamente con la otra fracción, para aclarar la manera de resolver estas operaciones a continuación se irán ampliando los conceptos para dar uno o varios métodos de resolver cada caso de la multiplicación de fracciones.

Definición de Multiplicación de Fracciones

El producto de fracciones es una operación matemática con números fraccionarios, que se da entre dos números de carácter racional, sean estos valores de carácter numérico o algebraico y de cuya operación se obtiene como resultado a otro número fraccionario.

En el caso de las fracciones de igual denominador o fracciones homogéneas, se procede de la misma manera que para las fracciones de diferente denominador o fracciones heterogéneas; de esta manera se multiplican los denominadores por los denominadores y los numeradores por los numeradores en línea recta y finalmente se simplifica la fracción si esto fuera necesario

Además sucede lo mismo para la multiplicación de más de dos fracciones, donde se multiplican todos los denominadores entre sí y de la misma forma con los numeradores.

Propiedades de la Multiplicación de Fracciones

El producto de fraccionarios, también posee propiedades que deben ser tomadas en cuenta al momento de resolver operaciones multiplicativas.

Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.

ab×cd=ef

Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.

(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)

Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.

ab×cd=cd×ab

Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:

ab×(cd+ef)=(ab×cd)+(ab×ef)

Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

ab×1=ab 

 ab÷1=ab

Multiplicación de Fracciones con Números Enteros

Cuando multiplicamos una fracción con un número natural entero se opera de esta manera:

ab×c=ab×c1=acb

En este caso tomamos en cuenta que el denominador de cualquier número entero es de 1 y por lo tanto cualquier multiplicación de una fracción con un número entero se multiplica al denominador por uno, es decir que mantiene el denominador de la fracción en cuestión.

Multiplicación de Fracciones Mixtas

Para empezar a multiplicar estas fracciones primero debemos definir que son las fracciones mixtas y las fracciones impropias.

Fracciones mixtas.- son aquellas en las cuales se combina un número entero y una fracción en el mismo número, por ejemplo:

234

Fracciones impropias.- una fracción de esta índole, se caracteriza por que el numerador es mayor que el denominador, pero no significa que este mal, de hecho en las matemáticas es más fácil operar con fracciones impropias que con las mixtas, esta es una muestra de fracción impropia:

114

Al analizar bien ambos ejemplos, nos podemos dar cuenta que ambos tienen el mismo vales, pero el primero está representado en forma de fracción mixta, mientras que el segundo es una fracción impropia, y para poder realizar una multiplicación entre fracciones mixtas, primero se debe convertir en una fracción impropia, y esto se explica a continuación.

Para poder hacer que una fracción mixta esté representada como fracción impropia, tomamos la parte entera del número y la multiplicamos por el denominador, y ese resultado se lo suma al numerador y de esta manera armamos la fracción. Si tomamos el ejemplo anterior, podemos decir que se multiplicó la parte entera (2) por el denominador de la fracción (4) y luego con el resultado (8) lo sumamos al numerador (3) y obtuvimos (11), y luego al poner esta ultima suma sobre la fracción obtuvimos (11/4), que es una fracción impropia. La formula sería:

abc=ac+bc

Ahora, para multiplicar una fracción mixta primero se la convierte en impropia y se procede con la multiplicación como se ha venido diciendo, multiplicando los denominadores y los numeradores. Por ejemplo:

234×23=114×23=2212=116

Y si se lo requiere, se puede convertir esta fracción impropia en una fracción mixta, para volver a la forma original de la operación. Para hacerlo dividimos el numerador para el denominador y se deja el resto a un lado, el resultado (sin el resto) se escribe como el número entero y el resto va como numerador mientras se mantiene el mismo denominador, veamos:

Tenemos

116

Dividimos 11÷6=1 con resto 5

Escribimos 1 como entero y el resto 5 ponemos como numerador y el denominador queda igual, siendo el resultado:

156

Multiplicación de Fracciones Algebraicas

Las multiplicaciones fraccionarias algebraicas no serán un gran problema, si ya conoces la manera de multiplicar fracciones comunes, pues el principio es el mismo, excepto que en algebra, existen valores desconocidos o literales que irán descubriéndose a medida que avances en la operación.

La respuesta del producto de fracciones algebraicas es otra fracción algebraica. Además al momento de multiplicar potencias deberás sumar los exponentes cuando posean la misma base, es decir que si el literal es diferente en cada fracción, las potencias no se suman, pero si son literales iguales, deberás sumarles de acuerdo a las propiedades de la potenciación.

Ejemplos de Multiplicación de Fracciones

Multiplicación simple:

13×25=215

Multiplicación asociativa/distributiva:

(27×34)+528=2×37×4+528=628+528=1128

Multiplicación de fracciones con números enteros:

4×37=4×37=127

Multiplicación de fracciones mixtas:

415×29=215×29=4245

Multiplicación de 3 fracciones:

13×25×47=8105

Multiplicación de fracciones algebraicas:

x3×23y=2x9y

Multiplicación de fracciones algebraicas con potencias

xy35×3y22y=x×3y3+25×2y=3xy510y