POLÍGONOS REGULARES

En geometría, se denomina polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.

Propiedades de un polígono regular

• Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida.
• Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.
• Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.

Ángulos de un polígono regular

Central[editar]

• Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:

${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;}$ en radianes

Interior[editar]

• El ángulo interior, ${\displaystyle \beta \,}$, de un polígono regular mide:

${\displaystyle \beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}$ en radianes

• La suma de los ángulos interiores, ${\displaystyle \sum \beta \;}$, de un polígono regular es de:

${\displaystyle \sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;}$ en radianes

Exterior

• El ángulo exterior, ${\displaystyle \gamma \;}$, de un polígono regular es de:

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\beta ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \gamma =\pi -\beta ={\frac {2\pi }{n}}\;}$ en radianes

• La suma de los ángulos exteriores, ${\displaystyle \sum \gamma \,}$, de un polígono regular es:

${\displaystyle \sum \gamma =360^{\circ }\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \sum \gamma =2\pi \;}$ en radianes

Galería de polígonos regulares

• 

  Triángulo equilátero (Triángulo regular) (3)
 
• 

  Cuadrado (cuadrilátero regular) (4)
 
• 

  Pentágono regular (5)
 
• 

  Hexágono regular (6)
 
• 

  Heptágono regular (7)
 
• 

  Octágono regular (8)
 
• 

  Eneágono regular (9)
 
• 

  Decágono regular (10)
 
• 

  Undecágono regular (11)
 
• 

  Dodecágono regular (12)
 
• 

  Tridecágono regular (13)
 
• 

  Tetradecágono regular (14)

Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

Área de un polígono regular[editar]

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema[editar]

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}}$

[Expandir]Demostración

En función del número de lados y la apotema[editar]

Sabiendo que:

${\displaystyle A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}}$

Además ${\displaystyle \delta ={\frac {\pi }{n}}\ }$, ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:

${\displaystyle L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Sustituyendo el lado:

${\displaystyle A_{p}={\frac {\left(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right)\cdot n\cdot a}{2}}}$

Finalmente:

${\displaystyle A_{p}=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.